Wer anerkannt wird, beantragt und bekommt einen Flüchtlingspass. Das gilt für die, die Asyl bekommen, und für diejenigen, die als Flüchtling (entsprechend der Genfer Flüchtlingskonvention) anerkannt werden.

Wer nur ein Aufenthaltsrecht als Kriegsflüchtling (subsidiären Schutz) bekommt, also als nicht persönlich verfolgt gilt, muss sich um die Ausstellung oder Verlängerung des Nationalpasses kümmern.

Es kommt also darauf an, was Du mit "anerkannt" genau meinst.