1.) eine VE ist gültig, bis ein AT zu einem anderen Zweck erteilt wird. Das dürfte jedenfalls bei einem Kindernachzug normalerweise zumindest bis zum 16. Lebenjahr, wahrscheinlicher sogar bis zum 18. Lebensjahr bedeuten.

2.) eine wirksame VE bedeutet nicht, dass keine Sozialleistungen beantragt werden können bzw. bewilligt werden. Ein Sozialleistungsanspruch bleibt -ganz im Gegenteil- in voller Höhe bestehen. Nur wird sich die Sozialbehörde dann im Anschluss an den VE-Geber wenden und versuchen, sich das Geld dort wiederzuholen. Wenn da dann nichts holen ist (also weder laufende pfändbare Einkünfte noch pfändbares Vermögen), dann eben nicht - jedenfalls nicht, solange sich die wirtschaftliche Situation nicht besser.

3.) Hat die Mutter denn überhaupt die Alleinsorge für das Kind?