Normalerweise läuft es so:

Du meldest Dich an (und mit dem gleichen Formular in HH ab.)

Die Meldebehörde sagt der Ausländerbehörde / Einbürgerungsbehörde Bescheid, und die schicken die Akte an die jetzt für Dich zuständige örtliche Behörde. Die müssen dann erst mal lesen, was bisher passiert ist und was noch fehlt.

Vielleicht rufst Du einfach acht Wochen nach der Ummeldung bei deiner neuen Einbürgerungsbehörde an und fragst einfach, ob sie die Akte schon haben und ob sie was von Dir brauchen.

Es ist immer Deine Behörde vor Ort für Dich und Deine Anträge zuständig, dafür musst Du überhaupt nichts machen. Es gibt bloß eine kurze Verzögerung durch das Verschicken der Akte und dadurch, dass die neue Behörde erstmal alles lesen muss.