Ich denke ja, du darfst. Die Verlängerung einer AE nach § 16.1 zu Promotionszwecke ist zwar eine Ausnahme vom Regelversagungsgrund des § 16 Abs. 2 (die Aufenthaltserlaubnis wird abweichend von § 16.2 ohne vorherige Ausreise bei Vorliegen der allgemeinen Voraussetzungen (§ 5) erneut erteilt oder verlängert). Diese Ausnahme bedeutet aber nicht, dass dir die AE entsprechend § 16.4 nicht hätte erteilt werden können bzw. nicht erteilt werden kann - da du ja dein ursprüngliches Studium erfolgreich abgeschlossen hast. Und über § 16.4 wärest du berechtigt, einen Arbeitsplatz zu suchen. Wichtig ist, dass die Arbeit deiner (bereits erworbenen) Qualifikation angemessenen ist und entsprechend vergütet wird. Außerdem ist es auch relevant, warum der Arbeitgeber dich und keinen "bevorrechtigten Arbeitnehmer" anstellen will / muss.

Ich würde die zuständige ABH kontaktieren und die Sache besprechen. Am besten mit flankierenden Unterstützung von deinem potenziellen Arbeitgeber.

Gruß   S