Welcher Name der Eltern steht in der Geburtsurkunde eines Kindes:
der Name, den Vater und/oder Mutter zum Zeitpunkt der Geburt trugen oder die Namen zum Zeitpunkt der Ausstellung der Urkunde?

Hintergrund: Meine Frau plant, im Zuge der Einbürgerung ungeliebte fremde Namenselemente abzulegen. Würde in neuen Geburtsurkunden für die Tochter diese Namensänderung berücksichtigt?

Nein, diese Namensänderungen würden in einer neuen Geburtsurkunde nicht berücksichtigt werden.
Nur dann, wenn sich die geänderte Namensführung der Mutter oder Eltern auf den Namen des Kindes erstreckt, wird der geänderte Name eingetragen.

Ein Beispiel zum verdeutlichen:
Das Kind führt den Familiennamen der Mutter und dieser wird geändert. Dann wenn sich die Namensänderung der Mutter auf den Geburtsnamen des Kindes erstreckt, erhält ja auch das Kind einen neuen Namen. Und dann macht es Sinn, auch den Namen der Mutter im Eintrag fortzuführen.

Wenn es sich allerdings um andere Namensbestandteile handelt wie Vornamen, Vatersnamen, Mittelnamen, die mit dem Namen des Kindes selbst nichts zu tun haben, wird der Name der Mutter im Eintrag nicht fortgeschrieben und damit bleibt der Name auch in der Urkunde unverändert.

Es würde auch einen immensen Aufwand in den Standesämtern mit sich bringen, wenn jede Änderung des Namens der Eltern in den Geburtseinträgen der Kinder fortgeschrieben werden würde.

Nimm mal an, die Mutter heiratet und erhält dadurch einen anderen Namen, der Namen des Kindes bleibt gleich. Dann lässt sie sich scheiden, nimmt den Geburtsnamen wieder an, heiratet erneut und hat wieder einen anderen Namen. Jedesmal eine Folgebeurkundung, jedesmal eine neue Urkunde.
So etwas kommt öfters vor, als man sich vorstellen kann.

Die Geburtsurkunde ist sozusagen eine Momentaufnahme über die Verhältnisse im Zeitpunkt der Beurkundung. Spätere Änderungen, die sich eben auf diesen Zeitpunkt der Beurkundung auswirken, wie die Änderung des Geburtsnamens des Kindes aufgrund einer Änderung des Familiennamens der Mutter, werden berücksichtigt.

Die geplante Namensänderung deiner Frau wirkt aber nicht auf den Zeitpunkt der Geburt des Kindes zurück, wenn die Namenserklärung deiner Frau am 12.03.2012 wirksam ist, heißt sie mit Wirkung vom 12.03.2012 eben anders und nicht rückwirkend.

Der neue Name der Mutter wird evtl. gem. § 36 Abs. 2 PStV als Folgebeurkundung eintragungsfähig sein, wenn die Mutter ihren Namen im Zusammenhang mit der Einbürgerung ändert.